Ο Φίληβος Γκάτζιος γεννήθηκε στην Αθήνα το 2003 και ξεκίνησε μαθήματα πιάνου σε ηλικία έξι ετών με την Alla Chalapsis. Πολύ σύντομα διακρίθηκε, λαμβάνοντας υποτροφία από το Ωδείο Μαρία Κάλλας και, σε ηλικία εννέα ετών, από το Vladimir Spivakov International Charity Foundation for Young Talents.

Κατά τη διάρκεια των παιδικών και εφηβικών του χρόνων απέσπασε σημαντικές διεθνείς διακρίσεις, μεταξύ των οποίων Α ́ Βραβείο στον Διαγωνισμό Πιάνου Chopin του Ιδρύματος Διονυσία, Grand Prix στο International Music Festival – Summer University of Music στο Λουτράκι και Grand Prix στον διαγωνισμό «Cerebriani Camerton» στην Αγία Πετρούπολη.

Έχει εμφανιστεί σε ρεσιτάλ και συναυλίες για πιάνο και ορχήστρα στην Ελλάδα και τη Ρωσία, ενώ συμμετείχε σε επετειακή συναυλία στο Μέγαρο Μουσικής Αθηνών και σε ζωντανή ραδιοφωνική μετάδοση από το Τρίτο Πρόγραμμα της Ελληνικής Ραδιοφωνίας.

Σπούδασε στο Central Musical School της Μόσχας, στην τάξη του Alexander Mndoyants, και αποφοίτησε το 2021. Την ίδια χρονιά απέσπασε Β ́ Βραβείο στον 3ο International Chopin Piano Competition στη Μογγολία και έλαβε Δίπλωμα Πιάνου στην Ελλάδα με βαθμό «Άριστα» και Α ́ Βραβείο. Από το 2023 είναι φοιτητής πιάνου στο Eastman School of Music του Πανεπιστημίου του Rochester (Η.Π.Α.), με πλήρη υποτροφία διδάκτρων.

Από το 2024, ο Φίληβος φοιτά στο College–Conservatoire of Athens, με καθηγητή πιάνου τον Μανό Κιτσικόπουλο.